基礎数学例

$\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

ステップ 1

$\frac{k^{2} + 3 k - 4}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $k^{2} + 3 k - 4$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 16}{k^{2} - 1} = a$

ステップ 1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{k^{2} - 4^{2}}{k^{2} - 1} = a$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = k$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1} = a$

ステップ 1.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k^{2} - 1^{2}} = a$

ステップ 1.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = k$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k + 1) (k - 1)} = a$

ステップ 1.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$k - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$k - 1$ を $(k + 1) (k - 1)$ で因数分解します。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

ステップ 1.4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{(k - 1) (k + 4)}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{(k - 1) (k + 1)} = a$

ステップ 1.4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k + 4) (k - 4)}{k + 1} = a$

ステップ 1.4.2

$k - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$k - 4$ を $(k + 4) (k - 4)$ で因数分解します。

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{k + 4}{k - 4} \cdot \frac{(k - 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$(k + 4) \cdot \frac{k + 4}{k + 1} = a$

$\frac{(k + 4) (k + 4)}{k + 1} = a$

ステップ 1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$k + 4$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(k + 4)}^{1} (k + 4)}{k + 1} = a$

ステップ 1.5.2

$k + 4$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(k + 4)}^{1} {(k + 4)}^{1}}{k + 1} = a$

ステップ 1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(k + 4)}^{1 + 1}}{k + 1} = a$

ステップ 1.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$k + 1, 1$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$k + 1, 1$

ステップ 2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$k + 1$

ステップ 3

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ の各項に $k + 1$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} = a$ の各項に $k + 1$ を掛けます。

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$k + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(k + 4)}^{2}}{k + 1} (k + 1) = a (k + 1)$

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

${(k + 4)}^{2} = a (k + 1)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

${(k + 4)}^{2} = a k + a \cdot 1$

ステップ 3.3.2

$a$ に $1$ をかけます。

${(k + 4)}^{2} = a k + a$

ステップ 4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$k$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $a k$ を引きます。

${(k + 4)}^{2} - a k = a$

ステップ 4.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

${(k + 4)}^{2}$ を $(k + 4) (k + 4)$ に書き換えます。

$(k + 4) (k + 4) - a k = a$

ステップ 4.1.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(k + 4) (k + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

分配則を当てはめます。

$k (k + 4) + 4 (k + 4) - a k = a$

ステップ 4.1.2.2.2

分配則を当てはめます。

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 (k + 4) - a k = a$

ステップ 4.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$k \cdot k + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

ステップ 4.1.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.1

$k$ に $k$ をかけます。

$k^{2} + k \cdot 4 + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

ステップ 4.1.2.3.1.2

$4$ を $k$ の左に移動させます。

$k^{2} + 4 \cdot k + 4 k + 4 \cdot 4 - a k = a$

ステップ 4.1.2.3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$k^{2} + 4 k + 4 k + 16 - a k = a$

ステップ 4.1.2.3.2

$4 k$ と $4 k$ をたし算します。

$k^{2} + 8 k + 16 - a k = a$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $a$ を引きます。

$k^{2} + 8 k + 16 - a k - a = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

$a = 1$ 、 $b = 8 - a$ 、および $c = 16 - a$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $k$ の値を求めます。

$\frac{- (8 - a) \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (16 - a))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

分配則を当てはめます。

$k = \frac{- 1 \cdot 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3

$- - a$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + 1 a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.3.2

$a$ に $1$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{{(8 - a)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.4

${(8 - a)}^{2}$ を $(8 - a) (8 - a)$ に書き換えます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{(8 - a) (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(8 - a) (8 - a)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.5.1

分配則を当てはめます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 (8 - a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.5.2

分配則を当てはめます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a (8 - a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.5.3

分配則を当てはめます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{8 \cdot 8 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.6.1.1

$8$ に $8$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 + 8 (- a) - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6.1.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - a \cdot 8 - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6.1.3

$8$ に $- 1$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - a (- a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6.1.5

指数を足して $a$ に $a$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.6.1.5.1

$a$ を移動させます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6.1.5.2

$a$ に $a$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + 1 a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6.1.7

$a^{2}$ に $1$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 8 a - 8 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.6.2

$- 8 a$ から $8 a$ を引きます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.7

$- 4$ に $1$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot (16 - a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.8

分配則を当てはめます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 4 \cdot 16 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.9

$- 4$ に $16$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 - 4 (- a)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.10

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{64 - 16 a + a^{2} - 64 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.11

$64$ から $64$ を引きます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{- 16 a + a^{2} + 0 + 4 a}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.12

$- 16 a$ と $0$ をたし算します。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 16 a + 4 a}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.13

$- 16 a$ と $4 a$ をたし算します。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a^{2} - 12 a}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.14

$a$ を $a^{2} - 12 a$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.14.1

$a$ を $a^{2}$ で因数分解します。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a - 12 a}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.14.2

$a$ を $- 12 a$ で因数分解します。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a \cdot a + a \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.1.14.3

$a$ を $a \cdot a + a \cdot - 12$ で因数分解します。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$k = \frac{- 8 + a \pm \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a - \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

$k = - \frac{8 - a + \sqrt{a (a - 12)}}{2}$

基礎数学 例

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